Narozen v Napajedlech, zemřel ve Staatsburgu (stát New York). Studoval reálné gymnázium v Brně a Bučovicích (1922–1930), brněnskou konzervatoř (klavír u R. Kurzové, 1920–1927; skladbu u L. Janáčka, od 1919), pražskou konzervatoř (skladbu u R. Karla, 1928–1929, absolvoval ve 4. ročníku) a její mistrovskou školu (klavír u V. Kurze, 1927–1929). Soukromě pokračoval u V. Kurze (do 1931) a byl zapsán v 1. ročníku skladby u J. Suka (1929–1930).

Poprvé vystoupil veřejně v Praze v 8 letech (1920), v zahraničí ve Vídni (1923). V době svých mezinárodních úspěchů byl účastníkem letních klavírních kurzů A. Schnabla, u něhož konzultoval později v New Yorku. Během nacistické okupace Československa žil v Paříži (přátelství s B. Martinů), vstoupil do československé armády v exilu, přes Španělsko odjel do USA, kde žil až do své smrti. Podílel se na vycestování B. Martinů z ohrožené Francie do USA.

V roce 1946 účinkoval v Praze na 1. ročníku festivalu Pražské jaro; znovu v Československu vystoupil až na festivalu Pražské jaro 1990 (provedl 2. klavírní koncert B. Martinů). Koncertoval na nejvýznamnějších světových hudebních festivalech (Edinburgh, Luzern, Salzburg, Athény, Bergen). Svou uměleckou kariéru zasvětil propagaci české tvorby na zahraničních pódiích. Interpretoval díla B. Smetany, L. Janáčka, B. Martinů (v premiéře uvedl jeho 2., 3. a 4. klavírní koncert, 1935, 1949, 1956), prosadil uznání klavírního koncertu A. Dvořáka ve světě, propagoval tvorbu svých vrstevníků – E. Hlobila, B. Vomáčky, A. Háby, P. Bořkovce, J. Ježka. Realizoval četné nahrávky (pro firmy RCA, Decca, Vox aj.). Při příležitosti hostování v ČSFR 1990 mu byl udělen čestný doktorát Univerzity Karlovy v Praze.

Bratr hudebního vědce Leoše Firkušného. Pohřben je na Ústředním hřbitově v Brně (25e, 43).