Narozen v Býchorech (okr. Kolín), zemřel ve Švýcarsku. Základy hudebního vzdělání získal od otce. Studoval na Konzervatoři Praha (1928–1933 housle u J. Felda, skladbu u O. Šína, dirigování u P. Dědečka). Ve 30. letech byl klavírním doprovázečem svého otce a podnikl s ním několik uměleckých zájezdů. V letech 1937–1939 byl členem Národního divadla, 1939–1941 šéf opery v Brně, 1942–1948 umělecký správce České filharmonie. V čele orchestru České filharmonie zahajoval 1. ročník festivalu Pražské jaro 1946.

Od roku 1948 působil v zahraničí: 1949–1953 hudební ředitel Chicagského symfonického orchestru, 1955–1958 hudební ředitel opery v Covent Garden v Londýně, 1961–1979 šéfdirigent symfonického orchestru Bavorského rozhlasu v Mnichově, 1972–1974 angažován v Metropolitní opeře v New Yorku. Pořídil četné nahrávky základního symfonického repertoáru, několikrát nahrál kompletní Smetanovu Mou vlast (poprvé 1951 v Chicagu).

V roce 1990 znovu řídil zahajovací koncert festivalu Pražské jaro a koncert spojených orchestrů na Staroměstském náměstí v Praze. U příležitosti této návštěvy mu byl udělen čestný doktorát Filozofické fakulty Univerzity Karlovy a čestné občanství hl. města Prahy. Autor oper Veronika (1943–1944, premiéra 1947), Cornelia Faroli (1972), symfonií, koncertů, requiem, komorní tvorby.

Syn houslisty a skladatele Jana Kubelíka. Pohřben je na Vyšehradském hřbitově (Slavín).