Narozen v Praze, zemřel ve Votíně. Používal též někdy příjmení Miechura. Po studiu na piaristickém gymnáziu v Praze a na gymnáziu v Klatovech studoval na pražské univerzitě filozofii a práva. V roce 1824 odešel z Prahy na votínské panství, které zakoupil jeho otec v roce 1809, vykonávat funkci justiciára (úředníka velkostatku vybaveného soudní pravomocí) votínského, plánického a zelenohorského panství. V letech 1840–1852 žil kvůli svým dětem a jejich studiu v Klatovech. V Klatovech spolupořádal řadu hudebních a divadelních akcí. Mimo jiné zde dirigoval Mozartovy opery Don Giovanni, Cosi fan tutte, Figarova svatba a Kouzelná flétna, Haydnova oratoria Sedm slov Kristových, Stvoření světa, Roční období, Beethovenovo oratorium Kristus na hoře Olivetské, nebo Mendelssohnova Paula. Pěvecký chrámový sbor doplňoval mužským sborem studentů klatovského gymnázia. Roku 1849 se stal asesorem (tj. čekatelem) na vyšší úřednickou funkci. V letech 1850–1855 se nemohl kompozici příliš věnovat, neboť vypomáhal svému otci se správou votínského panství, které po jeho smrti roku 1852 převzal.
Hudbu studoval Měchura nejprve u Jana Václava Tomáška a poté u Bedřicha Dionyse Webera. Je autorem 109 opusovaných skladeb a velké řady děl bez opusových čísel. Jeho op. 1 pochází z roku 1824. Psal skladby téměř všech hudebních druhů – od písní, přes dvojzpěvy a sbory až po velká operní díla, klavírní díla, komorní i symfonické opusy. Text ke dvěma písním (Wenn dann der Abend wieder gekommen / A když zase přišel večer, op. 26 a Ein Blümlein blüht am Unfersrand / Na břehu kvete květina) si napsal sám. Písně jsou až na jediný cyklus (slova F. L. Čelakovského) a dvě samostatné písně komponované na německé texty. Čtyřzpěvy a sbory jsou již psané česky a německy přibližně ve stejném poměru. První Měchurova skladba na český text je sbor Večer v lese op. 92 (1865) na slova A. V. Šmilovského.
Vedle písní je stejně významná jeho tvorba chrámová. Napsal pět mší, dvě requiem a řadu offertorií. Kromě dvou církevních kantát napsal kantáty světské na české texty, které se řadí k Měchurovým nejvýznamnějším dílům. Jsou to Štědrý den a První májová noc na slova K. J. Erbena a Pohřeb na Kaňku na text A. V. Šmilovského. Všechny tři pocházejí z roku 1866. Jedná se o první kantáty na české texty vůbec. Kantáty byly provedeny 22. 3. 1868 na koncertě Umělecké besedy na pražském Žofíně pod řízením Ludevíta Procházky. Při provedení údajně účinkovalo na 220 zpěváků a 90 hudebníků. Skladby zaznamenaly velký ohlas, který byl pravděpodobně jedním z podnětů, že začal hledat libreto ke své budoucí opeře, kterou se stala Marie Potocká.
Z orchestrálních děl složil šest symfonií, dvě orchestrální ouvertury a velkou řadu tanců. Za zmínku stojí, že Měchura není autorem žádného koncertu pro sólový nástroj a orchestr, zato sólové nástroje propojil s orchestrem ve všech třech svých cyklech variací – v roce 1827 složil Variace pro harfu a orchestr, v roce 1833 Variace pro violoncello, housle, klavír a orchestr a konečně z roku 1834 pochází Variace pro křídlovku a orchestr. Měchurovu komorní tvorbu reprezentuje především osmnáct kvartetů, přičemž poslední čtveřice je napsaná pro čtyři lesní rohy, čtyři kvinteta a jeden septet, z klavírní tvorby stojí za zmínku tři impromptu a tři písně beze slov. Většina skladeb je pojmenována německy, některé skladby, především komorní nesou dle tehdejší módy označení francouzské. U velké většiny svých děl si pořizoval sám klavírní výtah.
Měchurovy skladby jsou komponované nejprve pod vlivem vídeňských klasiků Josepha Haydna a Wolfganga Amadea Mozarta a raných romantiků Carla Maria von Webera, nejpatrnější vlivy jsou přičítány Felixu Mendelssohnovi-Bartholdymu. Pozdější skladby jsou psané pod vlivem novoromantiků Franze Liszta a Richarda Wagnera. Měchurův izolovaný život mimo hudební centrum a zejména aktivní vývoj českého hudebního života v generaci Bedřicha Smetany a jeho následovníků odsunuly brzy Měchurův skladatelský odkaz do pozice epigonů bez původního přínosu moderní době.
Švagr Františka Palackého.