Narozen v Plzni, zemřel v Praze. Studoval na pražské konzervatoři a na mistrovské škole (skladbu u J. B. Foerstra, absolvoval 1927). Člen literární skupiny Devětsil, v roce 1924 založil sdružení pro soudobou hudbu Přítomnost. Zasáhl téměř do všech oborů umělecké tvorby, působil též jako herec, zpěvák, hudebník a dramaturg (Osvobozené divadlo na Slupi, divadlo Dada, Moderní studio), rozhlasový komentátor, básník a výtvarník. V roce 1927 založil vlastní hudebněrecitační soubor Voice band, s nímž po úspěchu na Mezinárodním hudebním festivalu v Sieně (1928) podnikl v roce 1929 turné po Itálii.

V letech 1929–1930 byl šéfem činoherního studia Národního divadla v Brně, 1930–1931 působil jako režisér v Olomouci, 1931–1932 znovu v Brně, roku 1933 založil vlastní profesionální scénu D 34. V roce 1941 bylo divadlo pro svůj protifašistický charakter zavřeno a Burian byl do roku 1945 vězněn v nacistických koncentračních táborech. Po osvobození obnovil divadlo D 46 (1951–1955 přejmenováno na Armádní umělecké divadlo, od 1955 D 34).

Usiloval o vytvoření syntetického divadla. Dramatizoval básnická a prozaická díla (K. H. Mácha: Máj, voiceband 1929, dramatizace 1935; B. Benešová: Věra Lukášová, 1938; A. S. Puškin: Evžen Oněgin, 1937, melodram 1957; V. Dyk: Krysař, 1940), aktualizoval dramatickou tvorbu (B. Brecht - J. Gay - K. Weil: Žebrácká opera, 1934; V. K. Klicpera: Každý něco pro vlast, 1936). Spolupracoval s V. Nezvalem (režie her Milenci z kiosku, 1932; Manon Lescaut, 1940). Jako jeden z prvních českých skladatelů přijímal i impulsy jazzu a západoevropské hudební moderny.

Napsal melodramy (Balada o nenarozeném dítěti, 1924), písně (cykly Coctaily, 1926; Na pohlednice, 1927), opery (Mastičkář, vznik 1925, premiéra 1926; Bubu z Montparnassu, vznik 1927; Maryša, vznik 1938, premiéra 1940; Císařovy nové šaty, vznik 1947; Opera z pouti, vznik 1955, premiéra 1956; Račte odpustit, vznik 1956), orchestrální skladby, komorní skladby (8 smyčcových kvartetů), jazzové songy (Chlupatý kaktus), masové písně. Psal hudbu scénickou, hudbu k filmům (Siréna, 1946), režíroval filmy (Věra Lukášová, 1939; Chceme žít, 1949). Autor divadelních her (Dálky, 1959), lidových her se zpěvy a tanci na slova lidové poezie (Vojna, 1935; Láska, vzdor a smrt, 1946), próz, knižních prací (Sborová recitace a scénická hudba Voiceband, 1927; Jazz, 1928) a teoretických statí (výbory O nové divadlo, 1946; Divadlo za našich dnů, 1962; sborník Nejen o hudbě, 1981).

Syn barytonisty Emila Buriana, synovec tenoristy Karla Buriana, otec hudebníka Jana Buriana a herečky Kateřiny Burianové-Rajmontové. Pohřben je na Vyšehradském hřbitově v Praze (5, 173).

Pracovní text hry Jevgenij Oněgin v dramatizaci E. F. Buriana v knihovně archivu ND, sign. r 8580, r 1527