Narozen v Pardubicích. Již od svých osmi let se intenzivně věnoval studiu hudby a hře na lesní roh, pod vedením prof. Karla Křenka. Za krátký čas se stal vítězem prakticky všech národních soutěží, absolutním vítězem rozhlasové soutěže Concertino Praga (ve 12 letech) a o tři roky později i vítězem Pražského jara. Od čtrnácti let studoval na Pražské konzervatoři ve třídě prof. Bedřicha Tylšara. V této době se také s úspěchem zúčastnil mnoha mezinárodních soutěží a obdržel mnohá ocenění (např. Pražské jaro 1991 – III. cena, Mezinárodní rozhlasová soutěž UNESCO 1993, Ženevská soutěž 1993 – II. cena, první neudělena, Soutěž ARD v Mnichově 1994 – I. cena, Markneukirchen 1994 – I. cena, Ocenění Grammy Classic pro Českou republiku 1995, Cena Davidoff 2001, Mostly Classic Award 2002.

Jako sólohornista vystupuje s řadou renomovaných českých i zahraničních těles a dirigentů. Mezi nejznámější patří Berlínská, Londýnská, Česká, Mnichovská, Petrohradská a Tokijská filharmonie; Bavorský rozhlas, Bamberští symfonikové, Orchestre National de Lyon, Bachakademie Stuttgart a Mozarteum Salzburg. V roce 1998 byl pozván dirigentem Seiji Ozawou do orchestru Saito Kinen, který koncertoval u příležitosti zahájení zimních olympijských her v japonském Naganu. Se stejným souborem účinkoval 1. ledna 2000 na novoročním galakoncertu v hlavním městě Tokiu. Od té doby patří mezi stálé členy orchestru.

Jeho repertoár zahrnuje díla různých období, jak virtuózní koncerty barokní a klasické (Förster, Telemann, Mozart, Haydn a jiní), tak i velké romantické a moderní skladby (Weber, Schumann, Saint-Saëns, Strauss, Gliere, Pauer, Marti). Mezi své celovečerní recitály s klavírem často zařazuje skladby Beethovena, Donzi, Dukase, Nizzi, Hindemita. R. Baborák se také zasloužil o rozšíření hornové literatury, neboť sám aktivně přepisuje a hraje díla, která byla původně zkomponována pro jiné hudební nástroje, např. sonáty J. S. Bacha pro violoncello a violu da gamba, které také s velikým úspěchem natočil.

Aktualizace: září 2011