Narozen v Brně. V roce 1940 se stal členem baletního souboru Státního divadla v Brně a roku 1945 byl jmenován sólistou. Spolupracoval s I. V. Psotou. V letech 1941–1942 působil v německém divadle v Katowicích a v následujícím roce v Norimberku v rámci totálního nasazení. Po válce během vojenské prezenční služby v letech 1946–1948 vystupoval ve Slovenském národním divadle v Bratislavě.

Předním sólistou baletního souboru Národního divadla v Praze se stal roku 1949. Významný český choreograf Saša Machov pro něho vytvořil mnoho pozoruhodných choreografií. Na zásah ministra kultury Zd. Nejedlého byl r. 1951 odvolán z Národního divadla a v následujících letech (1951–1953) působil jako sólista a choreograf v Košicích, poté ve Slovenském národním divadle v Bratislavě. V letech 1955–1956 studoval na slavné Akademii baletního umění Agrippiny Vaganové v Sankt Petěrburgu (tehdy Leningradu) pod vedením vynikajícího pedagoga Alexandra Puškina. V roce 1958 se podílel na přípravě a realizaci programu Laterny magiky při světové výstavě EXPO 58 a spolupracoval s Alfrédem Radokem.

Těžištěm jeho tvorby bylo působení ve Státním divadle v Brně (nyní Národní divadlo Brno) a v Národním divadle v Praze. Do Brna se vrátil několikrát (1945–1946, 1948–1949 jako první sólista, 1964–1973 jako choreograf a jako šéf baletu 1964–1966 a 1970–1973). V letech 1966–1967 byl šéfem baletu v Makedonii (Skopje). Do Národního divadla v Praze se vrátil jako první sólista roku 1954 a působil zde až do roku 1964. V roce 1973 podepsal smlouvu jako choreograf a od následujícího roku zastával post šéfa baletu. Na svoji žádost ukončil šéfování v roce 1978, ale s Národním divadlem dále spolupracoval jako choreograf do roku 1991.

Vystupoval a choreografie vytvářel v různých zemích: Španělsko, Itálie, Německo, Nizozemsko, Belgie, Polsko, Kolumbie, Maroko, Japonsko a mnoho dalších. Výrazně přispěl k rozvoji baletu v naší republice. Jeho první choreografií byl baletní triptych Rapsodie v modrém, Bolero, Petruška. Rovněž jako první u nás uvedl baletní představení Giselle v originální verzi podle Mariuse Petipy ve Státním divadle v Brně. Inscenoval mnoho baletních titulů, tvořil choreografie i pro operní, operetní a činoherní představení. Dále spolupracoval na televizních a filmových dílech jako například Ze života umělce, Víly (filmová adaptace baletu Giselle), Pas de Quatre (filmová adaptace baletu Labutí jezero) a mnoho dalších.

Umělecká ocenění M. Kůry: Labutí jezero – 1969 Medaile d'Or, cena Vincenta Escudero (Španělsko); Romeo a Julie – 1972 Grand Prix, d'Italia of RAI (Itálie), za televizní inscenaci (choreografie); The Birds – 1978 Choreography Prize (Japonsko); The Nutcracker (Louskáček) – 1986 State Prize of The World Doctor Society (Itálie); 1995 Cena Thálie za celoživotní dílo.

Jeho manželkou byla emeritní primabalerína Jarmila Manšingrová, dcerou Jana Kůrová, rovněž úspěšná primabalerína.