Narozen v Poličné (u Valašského Meziříčí), zemřel v Praze. Vystudoval skladbu a dirigování na pražské Konzervatoři a paralelně studoval hudební vědu a estetiku na Karlově univerzitě. Po ukončení konzervatoře se dále vzdělával v operní režii u režiséra Ferdinanda Pujmana a v dirigování v mistrovské třídě Václava Talicha, který měl zásadní vliv na Kašlíkovo budoucí umělecké směřování. První kroky divadelní kariéry Kašlíka zavedly do pražského Divadla E. F. Buriana, kde působil jako dirigent (1940–1941), a uskutečnil zde také svůj divadelní kompoziční debut, kterým byl balet Juan, později uvedený i v Národním divadle v Praze. Dirigent Václav Talich Kašlíka nejen vedl v oblasti dirigování, ale podporoval jej i v režijní práci. Pod jeho záštitou uskutečnil Kašlík v roce 1942 svou první režii v Národním divadle, kterou byl večer dvou aktovek skladatele Pavla Bořkovce – baletu Krysař a opery Satyr. Do divadelního světa tak Talich uvedl nejen Kašlíka jako režiséra, ale i dalšího svého žáka – Jaroslava Krombholce jako dirigenta. Na inscenaci Kašlík také poprvé spolupracoval s výtvarníkem Františkem Trösterem.

Stálé angažmá jako dirigent a režisér však Kašlík získal v Brně, kde během ročního působení v letech 1943–1944 hudebně a režijně nastudoval Dvořákovu Rusalku a Mozartova Dona Giovanniho. V Praze se v roce 1945 stal jedním ze spoluzakladatelů Divadla 5. května – v budově bývalého Nového německého divadla – a vedl zde soubor opery jako šéf, režisér i dirigent až do jeho spojení s Národním divadlem v roce 1948. Ve Opeře 5. května se v letech 1945–1948 zrodily legendární inscenace, kterými byli mj. Smetanovi Braniboři v Čechách a Prodaná nevěsta, Kašlíkova Zbojnická balada, Bizetova Carmen, Prokofjevova Maškaráda – vše v režii Václava Kašlíka, Offenbachovy Hoffmannovy povídky a Verdiho Rigoletto v režii Alfréda Radoka nebo Pucciniho Bohéma a Tosca v režii Karla Jerneka.

Po sloučení Opery 5. května s Národním divadlem přešel do Národního divadla a setrval zde v uměleckých i vedoucích funkcích až do své smrti (1948–1989). Z počátku se inscenacím věnoval po stránce hudební i režijní – k těmto patří například dvě převzaté inscenace z Opery 5. května: Braniboři v Čechách a Maškaráda, dále Kvapilova Pohádka máje (1950) a Carmen (1954). Postupně režijní podíl v jeho práci převážil a za všechny jeho inscenace na všech třech tehdejších scénách Národního divadla jmenujme především Smetanova Dalibora (1955) a Prodanou nevěstu (1955 a 1958), Janáčkovu Věc Makropulos (1956) a Výlety páně Broučkovy (1959), Martinů Juliettu (1963) a Řecké pašije (1967 a 1984), Mozartova Dona Giovanniho (1962 a 1969) a Kouzelnou flétnu (1961), Verdiho Aidu (1957) a Macbetha (1978), Čajkovského Evžena Oněgina (1960), Musorgského Borise Godunova (1968), Wagnerovy Mistry pěvce Norimberské (1978).

Stal se jedním z hlavních režisérů, kteří v letech 1948–1989 vtiskli opeře Národního divadla výraznou tvář. Režijně se snažil představit operní inscenace jako divadelně dynamické, živé, vizuálně poutavé a originální. Tento princip se projevoval také ve scénografické složce inscenací, na které zpočátku spolupracoval s Františkem Trösterem, později stále častěji s Josefem Svobodou. Ve svých inscenacích používal filmové prostředky a projekce, například v mimořádně úspěšné Dvořákově Rusalce (1960), která se za 30 let dočkala více než 600 repríz, nebo v Daliborovi (1961). Dokázal však i ctít prostor a genia loci Stavovského divadla ve své taktéž nesmírně úspěšné inscenaci Dona Giovanniho z roku 1969, jejíž obnovená podoba byla s úspěchem uváděna i po přelomu století.

Kromě několika baletů a instrumentálních skladeb je Kašlík autorem dvou oper a dvou zpěvoher. Mimo již zmíněné Zbojnické balady (1939–1941), opery na vlastní libreto podle lidových textů, zkomponoval operu Krakatit (1961) na námět románu Karla Čapka – v Národním divadle uvedenou v roce 1966 – a zpěvohry Silnice (1980) na vlastní libreto podle scénáře Federica Felliniho – v ND 1982 – a Krysař (1983) podle románu Viktora Dyka.

Ani kompoziční činností ještě nekončí výčet Kašlíkova uměleckého působení. Je třeba připomenout jeho významný zahraniční režijní podíl. První zahraniční režií byl jeho vlastní balet Jánošík v drážďanské Staatsoper. Následovala dlouhá řada dalších, mj.: Rusalka pro Benátky (Teatro la Fenice), Amsterdam (Holland Festival), Vídeň (Volksoper), Mnichov (Gärtnerplatz Theater) a Karlsruhe (Staatstheater), Hindemithův Cardillac v Miláně (Teatro alla Scala), Boris Godunov ve Veronské aréně, Dalibor, Hoffmannovy povídky, Faust a Markétka, Martinů Hry o Marii pro Wiesbaden (Staatstheater), Debussyho Pelléas a Mélisanda, Verdiho Nabucco, Wagnerův Tannhäuser pro Londýn (Covent Garden), Julietta, Carmen, Janáčkova Káťa Kabanová, Příhody lišky Bystroušky, Věc Makropulos, Prodaná nevěsta, Čajkovského Piková dáma, Verdiho Trubadúr pro Hannover (Staatsoper).

Vlastní kapitolou je Kašlíkova operní televizní a filmová režie. Stal se významným mezinárodním představitelem tohoto specifického mediálního umění s několika desítkami inscenovaných oper a baletů pro Československou televizi a německou televizi ZDF. K těm nejznámějším patří filmová zpracování oper Prodaná nevěsta a Rusalka. Je také autorem knihy vzpomínek s charakteristickým názvem Jak jsem dělal operu (Panton, Praha 1987).

Pohřben je na městském hřbitově v Příbrami (stará část, 11, 0190).