Enikő Eszenyi absolvovala herectví na Divadelní a filmové akademii v Budapešti (1983). Následně byla přijata do budapešťského divadla Vígszínház, jednoho z nejprestižnějších a největších divadel v Maďarsku. Od února 2009 byla jmenována uměleckou ředitelkou tohoto divadla. První její režií se stala Büchnerova Leonce a Lena v Budapešťském komorním divadle, která získala sedm cen na Maďarském divadelním festivalu 1991 a zůstala na repertoáru pět let.
V roce 1992 nastudovala West Side Story, za niž obdržela cenu za nejlepší režii. Její inscenace Kleistovy Katynky z Heilbronnu byla kladně přijata kritiky i diváky. První shakespearovskou inscenací Enikő Eszenyi bylo Jak se vám líbí ve Slovenském národním divadle v roce 1996, za niž získala cenu za nejlepší režii na Mezinárodním festivalu divadelní Nitra. O pět let později byla nominována na stejnou cenu za adaptaci Antonia a Kleopatry, kterou inscenovala ve Slovenském národním divadle.
Pro Národní divadlo vytvořila v letech 1999–2001 tři shakesperovské inscenace (Mnoho povyku pro nic, Komedie omylů a Večer tříkrálový) a Vladařku závist aneb Zahradníkova psa (2005) Lope de Vegy. V roce 2003 režírovala v Divadle Bez zábradlí hru I. Örkényho Rodina Tótů.
V roce 2004 inscenovala v Arena Stage ve Washingtonu Brechtovu hru Muž jako muž, v roce 2014 pak v bratislavské Aréně hru D. Ivese Venuši v kožichu a v roce 2015 v Petrohradu Albeeho Kdo se bojí Viginie Woolfové?. Mezitím režírovala ve Vígszínház a v Pesti Színház (Grumbergův Krejčovský salón, Ostrovského I chytrák se spálí, Vinterberg-Rukov-Hansenovu Rodinou slavnost, Beaumarchaisovu Figarovu svatbu, Šumaře na střeše, McCoyovo Koně se přece střílejí a Lettsův Srpen v zemi indiánů oceněný na Maďarském divadelním festivalu). V roce 2009 režírovala ve Vígszínház Shakespearova Othella, který byl uveden také na mezinárodním divadelním festivalu v Soulu.
Její nejnovější inscenací v domovském divadle je Shakespearův Romeo a Julie, jenž se stal nejnavštěvovanější shakespearovskou inscenací posledních sezon v Maďarsku. Dále nastudovala Stephensův Punk Rock, Levinovo Ti, co si balí kufry, Nestroyova Lumpacivagabunda a Nádasovo Setkání.
Jako herečka účinkovala v mnoha hlavních rolích, např. Lady Ann, Lady Macbeth, Kleopatra, Rosalinda, Viola, Kordelie a Šašek (Král Lear), Jana (Shaw: Svatá Jana), Nasťa (Gorkij: Na dně), Blanche (Williams: Tramvaj do stanice touha), Margaret (Williams: Kočka na rozpálené plechové střeše), Alison (Osborne: Ohlédni se v hněvu) či Nora (Ibsen: Domeček pro panenky). Za posledně jmenovanou roli byla zvolena nejlepší herečkou na Maďarském divadelním festivalu. K jejím současným rolím patří Annette (Y. Reza: Bůh masakru), Šira (H. Galron: Mikev), Herečka (F. Molnár: Gardový poručík) a Šen Te – Šuej Ta (B. Brecht: Dobrý člověk ze Sečuanu), za niž získala cenu Nejlepší herečka v hlavní roli na Maďarském divadelním festivalu a Cenu maďarských divadelních kritiků.
S úspěchem ztvárnila více než 25 filmových rolích a vystupovala v pěti sólových pořadech. Byla vyznamenána několika maďarskými státními cenami, mj. Cenou Jászai Mari, titulem Zasloužilý umělec a Kossuthovou cenou (2001), nejprestižnějším maďarským oceněním. Získala Řád za zásluhy Maďarské republiky. V roce 2010 byla jmenována ambasadorkou maďarské kultury.

Aktualizace: květen 2017