Slovenský tenorista narozený v Humenném prožil mládí v Bratislavě, kde na státní konzervatoři studoval nejprve hru na trubku a až o čtyři roky později zpěv u prof. Idy Černecké, která mj. vychovala Petera Dvorského, Jozefa Kundláka, Miroslava Dvorského nebo Jána Gallu. Ještě před ukončením studia v roce 1973 již Juraj Hurný účinkoval jako sólista opery Slovenského národního divadla v Bratislavě (jeho první rolí byl Jeník v Prodané nevěstě).
Další dva roky zdokonaloval svou pěveckou techniku na stáži v Centro di Avviamento al Teatro Lirico (při Teatro Massimo) v Palermu u prof. Giny Cigna. Po návratu do SND v roce 1975 byl Juraj Hurný zpočátku ještě obsazován do velkých rolí lyrického tenoru, než politický nátlak, jemuž se nepodvolil, způsobil pokles zájmu vedení divadla o jeho osobu a zapříčinil pěvcův trvalý odchod (emigraci) do zahraničí. Šťastnou náhodou se Juraji Hurnému podařilo přesvědčit o svých pěveckých kvalitách při předzpívání v divadle v rakouském Štýrském Hradci a od 1. ledna 1978 se stal sólistou opery na dalších 35 let. Během své kariéry nastudoval 108 operních i operetních rolí a vystoupil v 1.387 představeních. Jeho nejmilejší rolí byl Rudolf v Bohémě, kterého ztvárnil v šesti různých inscenacích, z italského repertoáru zpíval dále Pinkertona v opeře Madama Butterfly, Vévodu mantovského v Rigolettovi, Alfréda v La traviatě, Gabriela Adorna v Simonu Boccanegrovi, Cavaradossiho v Tosce, Riccarda v Maškarním plesu, Nemorina v Nápoji lásky či Turidda v Sedláku kavalírovi. Kromě lyrických postav, které nejvíce svědčily jeho jasnému, zvučnému, citově zabarvenému tenoru, nastudoval i úlohy mladodramatického oboru, např. Dona Josého v modernistické inscenaci Carmen. Mezi nastudovanými rolemi byly i méně frekventované, např. Oronte z Verdiho Lombarďanů, Stifelio ze stejnojmenné Verdiho opery, Pollione z Belliniho Normy, Riccardo Percy z Donizettiho Anny Boleny, Fernando z La Favority či Guglielmo z Viva la mamma. Velkou příležitost dostal jako Faust v Boitově Mefistofelovi. Zpíval Lyonela ve Flotowově Martě, Zorzetta ve Wolf-Ferrariho opeře Il Campiello, Dona Alvara ve Verdiho Síle osudu či Dona Carlose ve stejnojmenné Verdiho opeře. Se smyslem pro diferencovaný pěvecký styl zpíval i ve více operách Mozartových, Straussových a Wagnerových. Vysloužil si chválu kritiků za Mozartova Tamina v Kouzelné flétně, Belmonta v Únosu ze serailu či Podesta v Zahradnici z lásky, stejně jako za Straussova Italského pěvce v Růžovém kavalírovi, Mattea v Arabelle a dvě menší tenorové role v Elektře a Salome. O jeho ztvárnění Logeho ve Wagnerově Zlatu Rýna napsali: …hrál a zpíval drzého cynika s vokální elegancí belcanta.
Nezanedbatelnou položku v pěvcově repertoáru tvoří díla česká a všeobecně slovanská – kromě Jeníka to byli Števa v Její pastorkyni, Boris v Kátě Kabanové a Janek ve Věci Makropulos od Leoše Janáčka, Jiří v Dvořákově Jakobínovi, nebo lyrický Lenský v Čajkovského Eugenu Oněginovi.
Po příchodu do zahraničí se Juraj Hurný zapojil nejen do umělecké práce, ale také do aktivit slovenského exilu. Stal se členem Světového kongresu Slováků, na jehož generálních shromážděních koncertně vystupoval. Svým zpěvem podporoval i další exilové akce ve Vídni, Mnichově, Montrealu aj. Po sametové revoluci obnovil kontakty s vlastí, ale trvale zůstal usazen již v Rakousku.
Kromě Štýrského Hradce účinkoval pohostinsky i na mnoha jiných scénách, např. ve Vídeňské státní opeře, v Bavorské státní opeře v Mnichově, v Gran Teatre del Liceu v Barceloně, v Opeře Zürich, v Opeře Marseille, v Národním divadle v Mannheimu, v Národním divadle a Státní opeře Praha, v operním domě v Linci, ve Vlámské opeře v Gentu, v Městských divadlech v Salcburku, Klagenfurtu a St. Gallen, v Theater an der Wien, ad.