Narozen v Praze, zemřel tamtéž. Do Národního divadla přišel Oldřich Kovář po několika předchozích angažmá mj. ve sboru Arény na Smíchově (1934–1935), ve Švandově divadle (1935–1937) a v Tylově divadle v Nuslích (1937). V roce 1938 jej do Opery Národního divadla přijal Václav Talich a členem souboru zůstal až do své smrti v roce 1967.

Kovářova hlasová dispozice lehkého a příjemného tenoru a herecké schopnosti jej předurčovaly pro charakterní až buffozní postavy. Měl smysl pro detailní herecké ztvárnění role i velké muzikální cítění, díky kterým byly jeho postavy lidsky vřelé a oblíbené. Stal se nezapomenutelným představitelem učitele Bendy v Jakobínovi, z dalších rolí to byli např. Michálek v Čertově stěně, Triquet v Evženu Oněginovi, ovčák Jirka v Čertovi a Káče, Skřivánek v Tajemství nebo vodník Michal v Novákově Lucerně.

Nelze však opomenout i role prvního oboru, jakými byli Števa Buryja v Její pastorkyni, Lenský v Evženu Oněginovi nebo Hrabě Almaviva v Lazebníku sevillském. Rozsáhlá byla i jeho mimodivadelní činnost – v roce 1931 spoluzaložil populární sextet Settleři, často spolupracoval s rozhlasem, i na řadě gramofonových nahrávek, objevil se též v některých meziválečných filmech.

Pohřben je v Praze na Olšanských hřbitovech (VIII, 6, 636).